Kalkulus Sejarah

Periode kuno memperkenalkan beberapa ide yang mengarah ke kalkulus integral , tetapi tampaknya tidak telah mengembangkan ide-ide ini dengan cara yang ketat dan sistematis . Perhitungan volume dan daerah , salah satu tujuan dari kalkulus integral , dapat ditemukan di Mesir Moskow papirus ( c. 1820 SM ) , tetapi formula instruksi sederhana , dengan tidak ada indikasi metode , dan beberapa dari mereka tidak memiliki komponen utama . [ 3 ] dari usia matematika Yunani , Eudoxus ( c. 408-355 SM ) menggunakan metode kelelahan , yang pertanda konsep batas, untuk menghitung luas dan volume , sementara Archimedes ( c. 287-212 SM ) mengembangkan ini gambaran yang lebih jauh , menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral metode . [ 4 ] metode kelelahan kemudian diciptakan kembali di Cina oleh Liu Hui pada abad ke-3 untuk menemukan luas lingkaran . [ 5 ] pada abad ke-5 AD , Zu Chongzhi mendirikan sebuah metode yang kemudian akan disebut prinsip Cavalieri untuk menemukan volume sebuah bola . [ 6 ]
abad pertengahan

harga dompet kulit grosir jilbab murah meriah grosir celana kolor dompet pria kw super Pada abad ke-14 , India matematika Madhava dari Sangamagrama dan sekolah Kerala astronomi dan matematika menyatakan komponen kalkulus seperti seri Taylor dan tak terbatas perkiraan seri . [ 7 ] [ 8 ] Sekolah Kerala memanfaatkan penataan ( perhitungan panjang ) dari busur lingkaran untuk memberikan bukti hasil ini . ( Metode kemudian Leibniz , menggunakan quadrature (yaitu perhitungan area di bawah busur lingkaran ) , belum dikembangkan . ) [ 8 ] Mereka juga memanfaatkan serangkaian ekspansi \ arctan x untuk mendapatkan ekspresi terbatas seri ( kemudian dikenal sebagai Gregory seri ) untuk \ pi : [ 8 ] Mereka menggunakan seri ditingkatkan untuk menurunkan ekspresi rasional, [ 8 ] 104348/33215 untuk \ pi memperbaiki sampai sembilan tempat desimal , yaitu 3,141592653 . Mereka membuat penggunaan gagasan intuitif batas untuk menghitung hasil ini . [ 8 ] The Kerala matematikawan sekolah juga memberikan metode semi - ketat diferensiasi beberapa fungsi trigonometri , [ 2 ]

Sarjana India membuat penemuan sebelum abad ke-17 yang sekarang dianggap sebagai bagian dari kalkulus [ 2 ] Namun , mereka tidak dapat menggabungkan banyak ide yang berbeda di bawah dua tema pemersatu derivatif dan integral, menunjukkan hubungan antara keduanya , . dan mengubah kalkulus menjadi besar alat pemecahan masalah yang kita miliki saat ini . [ 2 ]
modern
" Kalkulus adalah pencapaian pertama matematika modern dan sulit untuk melebih-lebihkan pentingnya. Saya pikir itu mendefinisikan lebih tegas dari apa pun lahirnya matematika modern , dan sistem analisis matematika , yang merupakan pengembangan logis , masih merupakan kemajuan teknis terbesar dalam pemikiran yang tepat . " - John von Neumann [ 9 ]

Di Eropa , karya dasar adalah sebuah risalah karena Bonaventura Cavalieri , yang berpendapat bahwa volume dan daerah harus dihitung sebagai jumlah dari volume dan bidang amat tipis lintas-bagian . Ide-ide yang mirip dengan Archimedes ' di Metode , tapi risalah ini hilang sampai bagian awal abad kedua puluh . Karya Cavalieri tidak dihormati karena metode itu bisa mengarah pada hasil yang salah , dan jumlah sangat kecil ia memperkenalkan yang jelek pada awalnya .

Penelitian formal kalkulus dibawa bersama infinitesimals Cavalieri dengan kalkulus terbatas dari perbedaan yang dikembangkan di Eropa pada sekitar waktu yang sama . Pierre de Fermat , mengklaim bahwa ia dipinjam dari Diophantus , memperkenalkan konsep adequality , yang mewakili kesetaraan hingga istilah kesalahan sangat kecil [ 10 ] Kombinasi dicapai oleh John Wallis , Isaac Barrow , dan James Gregory , dua terakhir membuktikan . teorema dasar kalkulus kedua sekitar 1670.
Isaac Newton mengembangkan penggunaan kalkulus di hukum gerak dan gravitasi .

Aturan produk dan aturan rantai , gagasan derivatif yang lebih tinggi , seri Taylor , dan fungsi analitis diperkenalkan oleh Isaac Newton dalam notasi istimewa yang digunakan untuk memecahkan masalah matematika fisika . [ 11 ] Dalam karya-karyanya , Newton diulang idenya sesuai dengan idiom matematika waktu , menggantikan perhitungan dengan infinitesimals oleh argumen geometris setara yang dianggap tercela . Dia menggunakan metode kalkulus untuk memecahkan masalah gerak planet , bentuk permukaan cairan berputar, oblateness bumi , gerakan berat meluncur pada lingkaran , dan banyak masalah lain yang dibahas dalam bukunya Principia Mathematica ( 1687) . Dalam karya lain , ia mengembangkan ekspansi seri untuk fungsi, termasuk kekuatan pecahan dan tidak rasional , dan itu jelas bahwa dia memahami prinsip-prinsip deret Taylor . Dia tidak mempublikasikan semua penemuan ini, dan saat ini metode sangat kecil masih dianggap jelek .
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah orang pertama yang mempublikasikan hasil pada perkembangan kalkulus .

Ide-ide ini disusun menjadi kalkulus sejati infinitesimals oleh Gottfried Wilhelm Leibniz , yang awalnya dituduh plagiat oleh Newton [ 12 ] Dia sekarang dianggap sebagai penemu independen dan kontributor kalkulus . . Kontribusinya adalah untuk memberikan yang jelas aturan untuk bekerja dengan jumlah yang sangat kecil , yang memungkinkan perhitungan derivatif kedua dan yang lebih tinggi , dan menyediakan aturan produk dan aturan rantai , dalam diferensial dan bentuk terpisahkan . Tidak seperti Newton , Leibniz membayar banyak perhatian terhadap formalisme , sering menghabiskan hari-hari menentukan simbol yang tepat untuk konsep .

Leibniz dan Newton biasanya baik dikreditkan dengan penemuan kalkulus . Newton adalah orang pertama yang mengaplikasikan kalkulus fisika umum dan Leibniz mengembangkan banyak notasi yang digunakan dalam kalkulus hari ini. Wawasan dasar yang baik Newton dan Leibniz diberikan adalah hukum diferensiasi dan integrasi , kedua dan derivatif yang lebih tinggi , dan gagasan dari seri polinomial aproksimasi . Pada saat Newton , teorema dasar kalkulus dikenal .

Ketika Newton dan Leibniz pertama kali mempublikasikan hasil mereka , ada kontroversi besar di mana matematika ( dan karena itu negara mana ) kredit layak . Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu , namun Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya . Newton mengklaim Leibniz mencuri ide dari catatan yang tidak dipublikasikan , yang Newton telah berbagi dengan beberapa anggota dari Royal Society . Kontroversi ini dibagi berbahasa Inggris matematikawan dari benua matematika selama bertahun-tahun , sehingga merugikan Inggris matematika. Pemeriksaan yang seksama atas karya-karya dari Leibniz dan Newton menunjukkan bahwa mereka tiba di hasil mereka secara mandiri , dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan kredit untuk mengembangkan kalkulus secara terpisah . Ini adalah Leibniz , namun, yang memberikan disiplin baru namanya . Newton disebut kalkulus " ilmu fluxions " .

Sejak saat Leibniz dan Newton , banyak matematikawan telah memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus . Salah satu yang pertama dan terlengkap bekerja pada analisis terbatas dan sangat kecil ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi . [ 13 ]
Maria Gaetana Agnesi
yayasan

Dalam kalkulus , yayasan mengacu pada pengembangan ketat subjek dari aksioma yang tepat dan definisi . Dalam kalkulus awal penggunaan jumlah sangat kecil dianggap unrigorous , dan mengecam keras oleh sejumlah penulis , terutama Michel Rolle dan Uskup Berkeley . Berkeley terkenal menggambarkan infinitesimals sebagai hantu dalam jumlah berangkat dalam bukunya The Analyst pada 1734 . Sebuah penelitian terbaru menyatakan bahwa Leibnizian kalkulus lebih kokoh didasarkan dari Berkeley empiris kritik darinya [ 14 ] Bekerja keluar landasan ketat untuk kalkulus diduduki matematika untuk banyak abad setelah Newton dan Leibniz dan masih sampai batas tertentu merupakan bidang penelitian aktif hari ini. .

Beberapa matematikawan , termasuk Maclaurin , mencoba untuk membuktikan tingkat kesehatan menggunakan infinitesimals , tapi tidak akan sampai 150 tahun kemudian ketika, karena karya Cauchy dan Weierstrass , cara akhirnya ditemukan untuk menghindari sekedar " gagasan " dalam jumlah jauh lebih kecil . Fondasi diferensial dan kalkulus integral telah diletakkan . Dalam penulisan Cauchy , kita menemukan berbagai pendekatan dasar , termasuk definisi kontinuitas dalam hal infinitesimals , dan ( agak tidak tepat ) prototipe dari ( ε , δ ) - definisi batas dalam definisi diferensiasi . Dalam karyanya Weierstrass diformalkan konsep batas dan menghilangkan infinitesimals . Setelah karya Weierstrass , akhirnya menjadi umum untuk basis kalkulus pada batas bukan jumlah sangat kecil . Bernhard Riemann menggunakan ide-ide untuk memberikan definisi yang tepat dari integral . Itu juga selama periode ini bahwa konsep kalkulus yang digeneralisasi untuk ruang Euclidean dan bidang kompleks .

Dalam matematika modern, dasar kalkulus termasuk dalam bidang analisis real , yang berisi definisi penuh dan bukti dari teorema kalkulus . Jangkauan kalkulus juga telah sangat diperpanjang . Henri Lebesgue menemukan mengukur teori dan menggunakannya untuk menentukan integral dari semua tapi fungsi yang paling patologis . Laurent Schwartz memperkenalkan Distribusi , yang dapat digunakan untuk mengambil turunan dari fungsi apapun .

Batas bukan satu-satunya pendekatan yang ketat untuk dasar kalkulus . Cara lain adalah dengan menggunakan analisis non-standar Abraham Robinson . Pendekatan Robinson , dikembangkan pada tahun 1960 , menggunakan mesin teknis dari logika matematika untuk meningkatkan sistem bilangan real dengan angka sangat kecil dan tak terbatas , seperti dalam asli Newton - Leibniz konsepsi . Angka-angka yang dihasilkan ini disebut nomor hyperreal , dan mereka dapat digunakan untuk memberikan pengembangan Leibniz -seperti aturan biasa kalkulus .
makna

Sementara beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan sebelumnya di Mesir , Yunani , Cina , India , Irak, Persia , dan Jepang , penggunaan modern kalkulus dimulai di Eropa , selama abad ke-17 , ketika Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz dibangun di atas pekerjaan yang hebat matematika sebelumnya untuk memperkenalkan prinsip-prinsip dasarnya . Perkembangan kalkulus dibangun pada konsep awal gerak sesaat dan daerah di bawah kurva .

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan , kemiringan suatu kurva , dan optimalisasi . Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas , volume, panjang busur , pusat massa , kerja , dan tekanan . Aplikasi yang lebih maju termasuk seri kekuasaan dan deret Fourier .

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih tepat tentang sifat ruang, waktu , dan gerak . Selama berabad-abad , matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian dengan nol ataupun jumlah jauh lebih banyak angka. Pertanyaan-pertanyaan ini muncul dalam studi gerak dan daerah. Filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks . Kalkulus memberikan solusi, terutama limit dan deret tak terhingga , yang kemudian berhasil memecahkan paradoks .
prinsip
Batas dan infinitesimals
Artikel utama : Batas dari fungsi , Terkecil , dan Kalkulus Terkecil

Kalkulus biasanya dikembangkan dengan bekerja sama dengan jumlah yang sangat kecil . Secara historis , metode pertama untuk melakukannya adalah dengan infinitesimals . Ini adalah objek yang dapat diperlakukan seperti angka tetapi yang , dalam beberapa hal , " jauh lebih kecil " . Sebuah nomor dx sangat kecil bisa lebih besar dari 0 , tetapi kurang dari setiap nomor dalam urutan 1 , 1/2 , 1/3 , ... dan kurang dari setiap bilangan real positif . Setiap kelipatan bilangan bulat dari sangat kecil masih jauh lebih kecil , yaitu , infinitesimals tidak memenuhi properti Archimedes . Dari sudut pandang ini , kalkulus adalah kumpulan teknik untuk memanipulasi infinitesimals . Pendekatan ini jatuh dari nikmat di abad ke-19 karena sulit untuk membuat gagasan yang tepat sangat kecil . Namun, konsep ini dihidupkan kembali pada abad ke-20 dengan pengenalan analisis non-standar dan analisis sangat kecil halus, yang menyediakan pondasi yang kuat untuk manipulasi infinitesimals .

Pada abad ke-19 , infinitesimals digantikan oleh batas . Batas menggambarkan nilai suatu fungsi pada input tertentu dalam hal nilai-nilai pada input terdekat . Mereka menangkap perilaku skala kecil , seperti infinitesimals , tetapi menggunakan sistem bilangan real biasa. Dalam perawatan ini , kalkulus adalah kumpulan teknik untuk memanipulasi batas-batas tertentu . Infinitesimals bisa diganti dengan jumlah yang sangat kecil , dan perilaku jauh lebih kecil dari fungsi tersebut ditemukan dengan mengambil perilaku membatasi untuk jumlah yang lebih kecil dan lebih kecil . Batas adalah cara termudah untuk memberikan fondasi ketat untuk kalkulus , dan untuk alasan ini mereka adalah pendekatan standar .
diferensial kalkulus
Artikel utama: Diferensial kalkulus
Garis singgung pada (x , f (x ) ) . F turunan '(x ) dari kurva pada suatu titik adalah kemiringan ( naik over run ) dari garis singgung dengan kurva pada titik tersebut .

Kalkulus diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi , properti , dan aplikasi dari turunan dari suatu fungsi . Proses mencari derivatif disebut diferensiasi . Mengingat fungsi dan titik dalam domain, turunan pada saat itu adalah cara pengkodean perilaku skala kecil dari fungsi dekat titik itu . Dengan menemukan turunan dari suatu fungsi pada setiap titik dalam domainnya , adalah mungkin untuk menghasilkan sebuah fungsi baru , yang disebut fungsi turunan atau hanya turunan dari fungsi aslinya. Dalam jargon matematika , derivatif adalah operator linear yang input dan output fungsi fungsi kedua . Ini lebih abstrak daripada banyak proses yang dipelajari dalam aljabar dasar, di mana fungsi biasanya masukan nomor dan output nomor lain . Sebagai contoh, jika fungsi penggandaan diberikan input tiga , maka output enam , dan jika fungsi mengkuadratkan diberikan input tiga , maka output sembilan . Derivatif , bagaimanapun , dapat mengambil fungsi mengkuadratkan sebagai masukan . Ini berarti bahwa derivatif mengambil semua informasi dari mengkuadratkan fungsi - seperti bahwa dua dikirim ke empat, tiga dikirim ke sembilan , empat dikirim ke enam belas , dan seterusnya - dan menggunakan informasi ini untuk menghasilkan fungsi lain . ( Fungsi menghasilkan ternyata fungsi penggandaan . )

Simbol yang paling umum untuk derivatif adalah suatu tanda apostrof seperti disebut prima . Jadi , turunan dari fungsi f adalah f ' , diucapkan " f prima. " Misalnya, jika f (x ) = x2 adalah fungsi mengkuadratkan , maka f '(x ) = 2x adalah turunannya , fungsi penggandaan .

Jika masukan dari fungsi mewakili waktu , maka derivatif merupakan perubahan terhadap waktu . Sebagai contoh, jika f adalah fungsi yang mengambil waktu sebagai masukan dan memberikan posisi bola pada waktu itu sebagai output , maka turunan dari f adalah bagaimana posisi berubah dalam waktu, yaitu, itu adalah kecepatan dari bola .

Jika fungsi linear ( yaitu, jika grafik fungsi adalah garis lurus ) , maka fungsi tersebut dapat ditulis sebagai y = mx + b , di mana x adalah variabel independen , y adalah variabel dependen , b adalah y - intercept , dan :

    m = \ frac { \ text { naik }} { \ text { lari }} = \ frac { \ text { perubahan } y } { \ text { perubahan } } x = \ frac { \ Delta y } { \ Delta x } .

Ini memberikan nilai yang tepat untuk kemiringan garis lurus . Jika grafik fungsi bukanlah garis lurus , bagaimanapun , maka perubahan y dibagi dengan perubahan x bervariasi . Derivatif memberikan makna yang tepat dengan gagasan perubahan output terhadap perubahan input. Untuk menjadi konkret, marilah f menjadi fungsi, dan memperbaiki suatu titik dalam domain f . (a , f ( a) ) adalah titik pada grafik fungsi . Jika h adalah sejumlah mendekati nol , maka + h adalah nomor dekat dengan . Oleh karena (a + h , f ( a + h) ) dekat dengan (a , f ( a) ) . Kemiringan antara dua titik adalah

    m = \ frac { f (a + h) - f ( a) } { (a + h) - sebuah } = \ frac { f ( a + h) - f ( a) } {h } .

Ungkapan ini disebut perbedaan kecerdasan . Garis melalui dua titik pada kurva disebut garis garis potong, sehingga m adalah kemiringan garis sekan antara (a , f ( a) ) dan (a + h , f ( a + h) ) . Secant line hanya merupakan pendekatan bagi perilaku fungsi pada titik karena itu tidak memperhitungkan apa yang terjadi antara dan + h. Hal ini tidak mungkin untuk menemukan perilaku pada dengan menetapkan h ke nol karena ini akan memerlukan membagi dengan nol , yang tidak mungkin . Derivatif ini didefinisikan dengan mengambil batas sebagai h cenderung nol , yang berarti bahwa ia menganggap perilaku f untuk semua nilai kecil h dan ekstrak nilai yang konsisten untuk kasus ketika h sama dengan nol :

    \ lim_ {h \ to 0 } { f (a + h) - f ( a) \ over { h } } .

Geometris , derivatif adalah kemiringan garis singgung grafik f pada . Garis singgung adalah batas garis sekan seperti derivatif batas perbedaan quotients . Untuk alasan ini , derivatif kadang-kadang disebut kemiringan fungsi f .

Berikut ini adalah contoh khusus, turunan dari fungsi mengkuadratkan di input 3 . Misalkan f (x) = x2 adalah fungsi mengkuadratkan .
F turunan '(x ) dari kurva pada suatu titik adalah kemiringan garis singgung dengan kurva pada titik tersebut . Kemiringan ini ditentukan dengan mempertimbangkan nilai limit dari lereng garis sekan . Di sini fungsi yang terlibat ( ditarik merah ) adalah f (x ) = x3 - x . Garis singgung ( hijau ) yang melewati titik (-3 / 2, -15/8 ) memiliki kemiringan 23/4 . Perhatikan bahwa skala vertikal dan horisontal dalam gambar ini berbeda .

    \ begin { align} f ' ( 3 ) & = \ lim_ {h \ to 0 } { ( 3 + h) ^ 2-3 ^ 2 \ over { h } } \ \ & = \ lim_ {h \ to 0 } { 9 + 6h + h ^ 2 - 9 \ over { h } } \ \ & = \ lim_ {h \ to 0 } { 6h + h ^ 2 \ over { h } } \ \ & = \ lim_ {h \ ke 0 } ( 6 + h) \ \ & = 6 . \ end { align}

Kemiringan garis singgung fungsi mengkuadratkan pada titik ( 3,9 ) adalah 6 , yang mengatakan , itu akan naik enam kali secepat itu akan ke kanan . Batas Proses saja dijelaskan dapat dilakukan untuk setiap titik dalam domain fungsi mengkuadratkan . Ini mendefinisikan fungsi turunan dari fungsi mengkuadratkan , atau hanya turunan dari fungsi mengkuadratkan untuk pendek . Perhitungan mirip dengan yang di atas menunjukkan bahwa turunan dari fungsi mengkuadratkan adalah fungsi penggandaan .
notasi Leibniz
Artikel utama: notasi Leibniz

Sebuah notasi umum , diperkenalkan oleh Leibniz , untuk derivatif dalam contoh di atas adalah

    \ begin { align} y = x ^ & 2 \ \ \ frac { dy } { dx } & = 2x . \ end { align}

Dalam pendekatan berdasarkan batasan , simbol dy / dx adalah untuk ditafsirkan bukan sebagai hasil bagi dua angka tetapi sebagai singkatan untuk batas dihitung di atas . Leibniz , bagaimanapun, berniat untuk mewakili hasil bagi dua angka yang sangat kecil , dy menjadi perubahan sangat kecil dalam y disebabkan oleh perubahan sangat kecil dx diterapkan x . Kita juga bisa memikirkan d / dx sebagai operator diferensiasi , yang mengambil fungsi sebagai masukan dan memberikan fungsi lain , derivatif , sebagai output . Sebagai contoh:

    \ frac { d } { dx } ( x ^ 2 ) = 2x .

Dalam penggunaan ini, dx sebagai penyebut dibaca sebagai " terhadap x " . Bahkan ketika kalkulus dikembangkan menggunakan batas daripada infinitesimals , itu adalah umum untuk memanipulasi simbol seperti dx dan dy seolah-olah mereka bilangan real , meskipun ada kemungkinan untuk menghindari manipulasi seperti itu, mereka kadang-kadang notationally nyaman dalam operasi mengekspresikan seperti derivatif total .
kalkulus integral
Artikel utama: Integral

Kalkulus integral adalah studi tentang definisi , properti , dan aplikasi dari dua konsep terkait, integral tak tentu dan integral tertentu . Proses pencarian nilai dari sebuah integral disebut integrasi. Dalam bahasa teknis , kalkulus integral mempelajari dua operator linear yang terkait .

Integral tak tentu adalah anti turunan , operasi terbalik dengan turunan. F adalah integral tak tentu dari f ketika f adalah turunan dari F. ( Ini menggunakan lebih rendah - dan huruf huruf untuk fungsi dan integral tak tentu adalah umum di kalkulus . )

Yang pasti input terpisahkan fungsi dan output nomor , yang memberikan jumlah aljabar dari daerah antara grafik input dan sumbu x . Definisi teknis dari integral tertentu adalah batas sejumlah bidang persegi panjang , yang disebut penjumlahan Riemann .

Contoh memotivasi adalah jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu .

    \ mathrm { } Jarak = \ mathrm { Kecepatan } \ cdots \ mathrm { } Waktu

Jika kecepatan konstan, hanya perkalian diperlukan, tetapi jika perubahan kecepatan , maka kita perlu metode yang lebih kuat untuk menemukan jarak . Salah satu metode tersebut adalah untuk perkiraan jarak yang ditempuh oleh putus waktu menjadi banyak interval waktu yang singkat , kemudian mengalikannya waktu yang telah berlalu di setiap interval dengan salah satu kecepatan di interval tersebut , dan kemudian mengambil jumlah (penjumlahan Riemann ) dari perkiraan jarak perjalanan di setiap interval . Ide dasarnya adalah bahwa jika hanya berlalu waktu singkat, maka kecepatan akan tetap kurang lebih sama. Namun, jumlah Riemann hanya memberikan perkiraan jarak yang ditempuh . Kita harus mengambil batas semua Riemann jumlah tersebut untuk menemukan jarak yang tepat bepergian.
Integrasi dapat dianggap sebagai mengukur daerah di bawah kurva , didefinisikan oleh f (x ) , antara dua titik (di sini a dan b ) .

Jika f ( x) pada diagram di sebelah kiri mewakili kecepatan seperti itu bervariasi dari waktu ke waktu , jarak tempuh ( antara waktu diwakili oleh a dan b ) adalah luas daerah yang diarsir s .

Untuk perkiraan bahwa daerah , sebuah metode intuitif akan membagi jarak antara a dan b menjadi beberapa segmen yang sama , panjang setiap segmen diwakili oleh Ax simbol . Untuk setiap segmen kecil , kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f (x ) . Sebut nilai yang h. Maka luas persegi panjang dengan basis Ax dan tinggi h memberikan jarak ( waktu Ax dikalikan dengan kecepatan h) bepergian di segmen tersebut. Terkait dengan setiap segmen adalah nilai rata-rata dari fungsi di atas itu , f (x ) = h . Jumlah semua persegi panjang tersebut memberikan perkiraan daerah antara sumbu dan kurva , yang merupakan perkiraan dari total jarak yang ditempuh. Sebuah nilai yang lebih kecil untuk Ax akan memberi lebih banyak persegi panjang dan dalam kebanyakan kasus pendekatan yang lebih baik , tetapi untuk jawaban yang tepat kita perlu mengambil batas sebagai Ax mendekati nol .

Simbol integrasi adalah \ int \ , , S memanjang ( S singkatan dari " sum" ) . Yang pasti terpisahkan ditulis sebagai :

    \ int_a ^ b f (x ) \ , dx.

dan dibaca " integral dari a ke b dari f -of - x terhadap x . " Leibniz notasi dx ditujukan untuk menyarankan membagi daerah di bawah kurva dalam jumlah tak terbatas persegi panjang , sehingga Ax lebar mereka menjadi dx sangat kecil . Dalam perumusan kalkulus didasarkan pada batas , notasi

    \ int_a ^ b \ ldots \ , dx

harus dipahami sebagai operator yang mengambil fungsi sebagai masukan dan memberikan nomor, daerah , sebagai output . Perbedaan mengakhiri, dx, bukan angka , dan tidak sedang dikalikan dengan f (x ) , meskipun , melayani sebagai pengingat batas definisi Ax , bisa diperlakukan seperti itu dalam manipulasi simbolik dari integral . Secara formal , menunjukkan diferensial yang variabel dimana fungsi terintegrasi dan berfungsi sebagai braket penutupan untuk operator integrasi .

Integral tak tentu , atau antiturunan , tertulis :

    \ int f (x ) \ , dx.

Fungsi yang berbeda dengan hanya konstan memiliki turunan yang sama , dan dapat ditunjukkan bahwa antiturunan dari fungsi yang diberikan sebenarnya adalah keluarga fungsi yang berbeda hanya dengan sebuah konstanta . Karena turunan dari fungsi y = x ² + C , di mana C adalah setiap konstan, adalah y ' = 2x , antiturunan yang terakhir diberikan oleh :

    \ int 2x \ , dx = x ^ 2 + C.

The ditentukan hadir C konstan dalam integral tak tentu atau antiturunan dikenal sebagai konstanta integrasi .
teorema dasar
Artikel utama: Teorema dasar kalkulus

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa diferensiasi dan integrasi adalah operasi invers . Lebih tepatnya , hal ini berkaitan dengan nilai-nilai antiturunan untuk integral tertentu . Karena biasanya lebih mudah untuk menghitung antiturunan daripada menerapkan definisi integral tertentu , teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis untuk menghitung integral tertentu . Hal ini juga dapat diartikan sebagai pernyataan yang tepat dari fakta bahwa diferensiasi merupakan kebalikan dari integrasi .

Teorema dasar kalkulus menyatakan: Jika fungsi f kontinu pada interval [ a, b ​​] dan jika F adalah fungsi yang derivatif adalah f pada interval ( a, b ​​) , maka

    \ int_ {a } ^ { b } f (x ) \ , dx = F ( b ) - F ( a) .

Selanjutnya , untuk setiap x di interval ( a, b ​​) ,

    \ frac { d } { dx } \ int_a ^ x f ( t ) \ , dt = f (x ) .

Realisasi ini , dibuat oleh kedua Newton dan Leibniz , yang berdasarkan hasil mereka pada karya sebelumnya oleh Isaac Barrow , adalah kunci untuk proliferasi besar hasil analisis setelah pekerjaan mereka menjadi dikenal . Teorema dasar menyediakan metode aljabar komputasi banyak pasti integral - tanpa melakukan proses - batas dengan mencari formula untuk antiturunan . Ini juga merupakan solusi prototipe dari persamaan diferensial . Persamaan diferensial berhubungan fungsi diketahui turunannya , dan di mana-mana dalam ilmu .
aplikasi
The logaritmik spiral shell Nautilus adalah gambar klasik yang digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan dan perubahan yang terkait dengan kalkulus

Kalkulus digunakan di setiap cabang dari ilmu fisika , ilmu aktuaria , ilmu komputer , statistik , teknik, ekonomi , bisnis , kedokteran , kependudukan , dan di bidang lain di mana pun masalah matematis dapat dimodelkan dan solusi optimal yang diinginkan . Hal ini memungkinkan seseorang untuk pergi dari tarif ( non-konstan ) perubahan ke perubahan total atau sebaliknya , dan berkali-kali dalam mempelajari masalah kita tahu satu dan mencoba untuk menemukan yang lain .

Fisika membuat penggunaan tertentu kalkulus , semua konsep di mekanika klasik dan elektromagnetisme saling berhubungan melalui kalkulus . Massa obyek kepadatan diketahui , momen inersia benda , serta total energi dari sebuah objek dalam bidang konservatif dapat ditemukan dengan menggunakan kalkulus . Sebuah contoh dari penggunaan kalkulus dalam mekanika adalah hukum kedua Newton tentang gerak : historis menyatakan secara jelas menggunakan " laju perubahan " istilah yang mengacu pada turunan mengatakan Laju perubahan momentum suatu benda sama dengan gaya resultan yang bekerja pada tubuh dan dalam arah yang sama . Umumnya menyatakan hari ini sebagai Gaya = Massa × Percepatan , melibatkan diferensial kalkulus karena percepatan adalah turunan waktu kecepatan atau waktu kedua turunan dari lintasan atau posisi spasial . Mulai dari mengetahui bagaimana suatu objek mempercepat , kita menggunakan kalkulus untuk menurunkan jalan.

Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein umum juga dinyatakan dalam bahasa kalkulus diferensial. Kimia juga menggunakan kalkulus dalam menentukan laju reaksi dan peluruhan radioaktif . Dalam biologi , dinamika populasi dimulai dengan reproduksi dan tingkat kematian terhadap perubahan populasi Model .

Kalkulus dapat digunakan dalam hubungannya dengan disiplin ilmu matematika lainnya . Sebagai contoh, dapat digunakan dengan aljabar linear untuk menemukan " paling cocok " pendekatan linier untuk satu set poin dalam domain . Atau dapat digunakan dalam teori probabilitas untuk menentukan probabilitas acak variabel kontinu dari fungsi kepadatan diasumsikan . Dalam geometri analitik , studi grafik fungsi , kalkulus digunakan untuk menemukan titik tinggi dan rendah poin ( maksimum dan minimum ) , kemiringan , cekung dan infleksi poin .

Green Teorema , yang memberikan hubungan antara garis terpisahkan sekitar sederhana kurva tertutup C dan integral ganda atas pesawat daerah D dibatasi oleh C , diterapkan dalam alat yang dikenal sebagai planimeter , yang digunakan untuk menghitung luas datar permukaan gambar . Sebagai contoh, dapat digunakan untuk menghitung jumlah luas diambil oleh bunga tidur yang tidak beraturan atau kolam renang ketika merancang tata letak sepotong properti .

Teorema diskrit Green , yang memberikan hubungan antara integral ganda fungsi sekitar tertutup sederhana persegi panjang kurva C dan kombinasi linear dari nilai antiturunan itu pada titik sudut sepanjang tepi kurva , memungkinkan perhitungan cepat jumlah nilai dalam domain persegi panjang . Sebagai contoh, dapat digunakan untuk efisien menghitung jumlah domain persegi panjang dalam gambar , untuk cepat mengekstrak fitur dan mendeteksi obyek - lihat juga algoritma table area dijumlahkan .

Dalam dunia kedokteran , kalkulus dapat digunakan untuk mencari sudut percabangan optimal pembuluh darah sehingga dapat memaksimalkan arus . Dari hukum peluruhan untuk eliminasi obat tertentu dari tubuh , digunakan untuk memperoleh hukum dosis . Dalam kedokteran nuklir , digunakan untuk membangun model transportasi radiasi dalam terapi tumor yang ditargetkan .

Dalam ilmu ekonomi , kalkulus memungkinkan untuk penentuan keuntungan yang maksimal dengan memberikan cara mudah untuk menghitung baik biaya marjinal dan penerimaan marjinal .

Kalkulus juga digunakan untuk menemukan perkiraan solusi untuk persamaan , dalam prakteknya adalah cara standar untuk memecahkan persamaan diferensial dan melakukan akar menemukan di sebagian besar aplikasi . Contohnya adalah metode seperti metode Newton , iterasi titik tetap , dan pendekatan linier . Misalnya , pesawat ruang angkasa menggunakan variasi dari metode Euler untuk perkiraan program melengkung dalam lingkungan gravitasi nol.